Luca Pacioli y la Divina Proporción.

LUCA PACIOLI Y LA DIVINA PROPORCIÓN.

Retrato de Luca Pacioli. Museo Capodimonte, Nápoles. Se ha atribuido a Jacopo de Barbari.

VIDA

El italiano Luca Pacioli nació en Borgo San Sepolcro (1445) y murió en Roma (c. 1510-1514). Franciscano desde 1472, fue profesor de matemáticas en las universidades y centros de estudios de numerosas ciudades italianas, en un constante deambular de una a otra: Perusa, Urbino, Florencia, Venecia, Milán (desde 1496), Pisa y Roma. Compatriota y amigo de Piero della Francesca, asimismo trató mucho con Leonardo.

Matemático eminente, fue autor de Summa de arithmetica, geometria, proportione et proportionalite (Venecia, 1494), que contiene los primeros ejemplos de cálculo de probabilidades y del cálculo de logaritmos neperianos. Esta obra incluye una parte titulada Tractatus particularis de computis et scripturis, en la que se encuentra la primera explicación detallada del método de la partida doble y de la teneduría de libros de contabilidad.

EL LIBRO DIVINA PROPORTIONE.

En 1496-1498 escribió Divina Proportione, como resultado de largas conversaciones en Milán con Leonardo da Vinci. Terminado en Milán, fue publicado en Venecia en 1509 por Paganino.

En una segunda edición (1503) la obra llevaba ilustraciones de Leonardo da Vinci, junto con un apéndice titulado Libellus corporum regularium, que ha sido considerado ya desde entonces (Vasari) un plagio de una obra de Piero della Francesca.

ESTRUCTURA.

Está dividido en 71 capítulos, sin articulación de partes, aunque de su lectura se deduce una clara estructura:

1. PRÓLOGO: cap. I.

2. INTRODUCCIÓN TEÓRICA: cap. 2-IV.

3. SECCIÓN ÁUREA O DE LA DIVINA PROPORCIÓN: cap. V-VI.

4. DE LOS EFECTOS DE LA SECCIÓN ÁUREA: cap. VII-XXIII.

5. DE LOS CINCO CUERPOS REGULARES: cap. XXIV-XXXIII.

A) DE LAS INCLUSIONES DE UNOS CUERPOS EN OTROS: cap. XXXIV-XLVII.

B) DE COMO SE FORMAN LOS CUERPOS: cap. XLVIII-LIV.

C) DE LA ESFERA: LV-LVII.

6. DE LA APLICACION A LA ARQUITECTURA Y DECORACIÓN: cap. LIV y LVIII-LXIX.

7. REPRESENTACION GRAFICA Y GLOSARIO: cap. LXX-LXXI.

TEORÍA.

Pacioli quiso deducir de la «sección áurea» (un término que es posterior a Pacioli), la divina proporción, única e invariable, los principios de la arquitectura y las proporciones del cuerpo humano, así como las de las letras del alfabeto.

Las referencias esotéricas y místicas son constantes, en un libro que pretende dirigirse a un público minoritario. Esto le priva de un carácter científico que le pretendía dar, pero explica su éxito en la época.

Las principales fuentes del libro son Platón (Timeo), Euclides (Elementos), Vitruvio y los neoplatónicos florentinos. En menor grado, toda una pléyade de escritos antiguos, medievales y humanistas, entre los que sobresalen los de la filosofía escolástica (por el rigor lógico de sus argumentos).

La tesis central es la primacía de las matemáticas sobre cualquier otra disciplina. Todos los seres y objetos se someten al número, el peso y la medida.

Esto lo complementa con la tesis de que «la vista es la mayor fuente del conocimiento.»

Las disciplinas matemáticas son las tradicionales: aritmética, geometría y astronomía. Les añade cuatro más: música, perspectiva, arquitectura y cosmografía.

Rompe así con el programa medieval de estudios, basado en el quadrivium: aritmética, geometría, astronomía y música. De acuerdo con su valoración, tan leonardesca, de la vista, sostuvo que «la perspectiva, esto es, la pintura, debe ser incluida» o la música debía ser excluida, como subordinada a las otras tres. Y reafirma esta condición estética »si dices que la música satisface al oído, uno de los sentidos naturales, entonces la perspectiva satisface a la vista, que es más noble, por ser la primera puerta del intelecto».

La «sección áurea» es la divina proporción, única e invariable, indefinible del mismo modo que no puede definirse a Dios. La proporción y la simetría de la arquitectura, del cuerpo humano y de las letras del alfabeto dependen de esta sección áurea o dorada.

La representación matemática y gráfica es sumamente compleja para este trabajo, pero podemos resumir lo esencial.

Una línea ACB está dividida según dicha proporción cuando la relación de la parte mayor con la parte menor sea igual a la relación de toda la línea con la parte mayor. A-----------------C-----------B

Para entender gráficamente esto en una página de libro de texto, la línea ACB mediría 5,8 cm, estando la letra A en la medida 0, la letra C en la medida 3,6 y la letra B en la medida 5,8. La fórmula matemática de dicha proporción es: A/B = C/A

El número x que resulta al final es inconmensurable, con una valor cercano a 1,618033... No exponemos aquí las demostraciones matemática y gráfica de dicha propiedad.

Los efectos o propiedades de la divina proporción son infinitos e inabarcables, pero Pacioli los reduce por conveniencia de la redacción a sólo 13, que escoge por su índole cabalística y estética (Dios y los Doce Apóstoles).

Los efectos los adjetiva de modo diferente y establece sencillas demostraciones aritméticas, más simples que las realizadas por Euclides.

El análisis y construcción de los cinco poliedros regulares está extraído del Timeo de Platón y justifica que sean sólo cinco con argumentos matemáticos y filosóficos.

Son el tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y el dodecaedro, que corresponden al fuego, la tierra, el aire, el agua y el Todo. Para la fabricación de tales figuras es necesario el uso de triángulos rectos.

Una propiedad de estos cuerpos es que se incluyen progresivamente uno en el otro, hasta que el último, el dodecaedro (la esfera), los contiene a todos.

A partir de estos cuerpos, con la ayuda de la divina proporción, se pueden construir otros cuerpos dependientes, bien sean los «abscisos» (por extracción de otros cuerpos) o los «elevados» (por adicción de otros cuerpos).

Leonardo compuso 60 dibujos para ilustrar estos cuerpos y procedimientos (cap. LXX).

En el cap. LIV Pacioli explica el poliedro de 72 caras y su supuesta utilización en grandes obras de arquitectura: desde el Panteón de Roma en la Antigüedad hasta algunos edificios actuales de Milán. Es una manifestación no probada, claro está. Defiende también el estudio de Vitruvio y exalta el ángulo recto, como símbolo de rectitud moral.

González resume la teoría de Pacioli en una propuesta: La arquitectura (como todo el arte) debe reflejar la estructura matemática del Universo. La proporción matemática, principio universal y objetivo de belleza, debe convertirse en la referencia del arte.

En una obra posterior Pacioli se extiende sobre su concepción de la proporción: el hombre será el origen de las medidas y de las proporciones, y así la arquitectura estará en función de ellas. El arte es antropocéntrico.

CRÍTICAS.

Schlosser [La literatura artística. 1976: 137-138] le califica de tratadista «teórico puro», como a Della Francesca y Leonardo. Puntualiza su voluntad de ser un maestro de artistas. Critica el «grotesco estilo latinizante», su «tinte teológico-filosófico» y la introducción de «elementos místico-especulativos».

Para Schlosser lo más importante es la relación de sus ideas con la arquitectura: la enumeración de las columnas italianas de construcción regular (de las que excluye el orden toscano de Alberti), el repudio de las columnas salomónicas, la censura a la arquitectura lombarda más antigua (defendiendo la de Bramante), la defensa de la arquitectura toscana como un ideal (con el ejemplo del palacio de Urbino).

Joaquim Garriga [AA.VV. Fuentes y documentos para la Historia del Arte. 1982: 137] le considera el mayor teórico y divulgador de la aplicación sistemática de las matemáticas y la geometría a la técnica artística.

Para Barasch es el científico y matemático más famoso del siglo XV [Teorías del arte. De Platón a Winckelmann. 1991: 117], pero ni siquiera le considera como un teórico menor de las artes, salvo como maestro, amigo y contertulio de Leonardo da Vinci.

Estrada Herrero [Estética. 1988: 587] sólo lo menciona como autor de un «tratado de arquitectura» (sic), La divina proporción.

Tatarkiewicz [Historia de seis ideas. 1987: 218] escribe que Pacioli sostenía que Dios revela los secretos de la naturaleza sirviéndose de la proporción. En esto sigue la línea renacentista de buscar la proporción adecuada, inspirada en Vitruvio (Ghiberti, Alberti, Gaurico, el mismo Savonarola). Es, pues, un representante clásico de la interpretación cognitiva del arte, como Della Francesca y Leonardo [314], teóricos y artistas que buscaban calcular sus obras con precisión matemática.

Según Chastel [1965, 46-49] «la obra se propone expresamente revelar a los arquitectos, escultores y decoradores el secreto de las formas armónicas», pero su afán y facilidad de compilador tiene mucho de «charlatanismo», con «un programa bastante trivial de fórmulas matemáticas envueltas en definiciones filosóficas; y concluye con algunas instrucciones para los canteros y decoradores».

El aspecto práctico se encubre con referencias filosóficas sin deducción ni lógica alguna. Pero esto era algo normal en la época: «representa incluso exactamente la situación mental del Quattrocento, donde práctica y teoría se avecinan sin ajustarse exactamente la una a la otra». Pero sus consejos, como los de Alberti y Filarete, se seguían con mucha laxitud por los artistas de su tiempo. En resumen, Pacioli desea relacionar a los grandes artistas de su tiempo con el humanismo matemático. Son los Bellini, Mantegna, Melozzo, Luca de Cortona, Perugino, Botticelli, Filippino y Ghirlandaio, «que con la regla y el compás confieren a sus obras una proporción que les asegura una admirable perfección» [op. cit., 50].

Sobre la escasa vigencia práctica de la teoría de Pacioli en la Arquitectura y Pintura, hay que comprender que su carácter inconmensurable dificultaba su aplicación.

Rudolf Wittkower [Sobre la arquitectura en la Edad del Humanismo. 1979: 535-37] explica que las propiedades irracionales de la divina proporción eran incompatibles con la búsqueda de la perfección matemática, de la medida exacta, que era consustancial a los arquitectos renacentistas. La de Pacioli no era una teoría realmente científica sino especulativa.

BIBLIOGRAFÍA.

FUENTES ORIGINALES.

Cennini, Cennino. El Libro del Arte. Akal. Madrid. 1988. 264 pp.

Pacioli, Luca. La Divina proporción. Akal. Madrid. 1991. 204 pp.

Vitruvio. Los Diez Libros de Arquitectura. Akal. Madrid. 1987. 277 pp. más LVI láms.

BIBLIOGRAFÍA GENERAL.

AA.VV. (Pitarch, Yarza, Garriga, Fernández Arenas, Calvo Serraler, Freixas et al.). Fuentes y documentos para la Historia del Arte. Gustavo Gili. Barcelona. 1982. 8 vols. 453, 350, 446, 606, 477, 271, 408, 471 pp.

Barasch, Moshe. Teorías del arte. De Platón a Winckelmann. Alianza. Madrid. 1991 (1985). 311 pp.

Blunt, Anthony. La teoría de las artes en Italia (del 1450 a 1600). Cátedra. Madrid. 1982 (1940). 175 pp.

Estrada Herrero, David. Estética. Herder. Barcelona. 1988. 773 pp. más ilus.

Schlosser, Julius von. La literatura artística. Cátedra. Madrid. 1976 (1924). 640 pp.

Tatarkiewicz, Wladyslaw. Historia de la estética. Akal. Madrid. 1991 (1970). 3 vols.: 357, 326, 606 pp.

Tatarkiewicz, Wladyslaw. Historia de seis ideas. Tecnos. Madrid. 1987 (1976). 422 pp.

Venturi, Lionello. Historia de la crítica de Arte. Gustavo Gili. Barcelona. 1982 (1936). 403 pp.

Wittkower, Rudolf. Sobre la arquitectura en la Edad del Humanismo. Gustavo Gili. Barcelona. 1979. 600 pp.